Autor: Diviciaco
jueves, 07 de febrero de 2008
Sección: Historia Antigua
Información publicada por: diviciaco
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La clave de Ptolomeo: Transformaciones de latitud y longitud para Hispania.

Donde se proporcionan las fórmulas de transformación de las latitudes y de las longitudes ptolemaicas en reales.

La latitud

La tabla IV(1) de J. Montero Vítores y Martinez Hombre,  de equivalencia de latitudes ptolemaicas y reales para Hispania se calculaba de la siguiente forma:

a Comenzando por el paralelo 36º, coincidente en la geografía de Ptolomeo y en la actual, vamos subiendo hacia el paralelo 45º, obteniendo las diferencias con el paralelo 36º.

b Cada diferencia la multiplicamos por el valor de un grado (91,354 km) en la tierra de Posidonio.

c Se obtiene la razón con el grado de latitud real (111,11 km)

A este valor se le suman los 36º y nos da la equivalencia que que trasladamos a la tabla.

Esta tabla permite obtener unas equivalencias de latitudes con las que se pueden obtener buenos resultados a la hora de interpretar la Geographia de Ptolomeo.

Esta tabla, al ser obtenida por un método uniforme podemos convertirla en una fórmula sin más que seguir, tal cual, los pasos del procedimiento de Martínez Hombre y así obtenemos nuestra primera transformación:

Latitud Real = 36 + (Latitud Ptolomeo - 36) x 91,354 / 111,11

En efecto, veamos lo que ocurre si  queremos saber la latitud real de Lucus Asturum, indicada con 45º en las tablas de Ptolomeo:

Latitud real = 36  + (45 -36) x 91,354 /111,11 =43,399º =43º 23,94'

La latitud de Sta María de Lugo es de 43,43938º=43º 26,36' difieriendo con la obtenida en sólo 2 minutos reales, cuyo valor en km está dentro del rango de los 5' con que trabajaba Ptolomeo.

Además podemos calcular la inversa de la fórmula y así obtener las coordenadas de Ptolomeo que corresponderían con unas coordenadas reales.

Latitud Ptolomeo=( (Latitud Real x 111,11) - 711,16) / 91,354

que aplicadas al caso anterior obtenemos: Latitud Ptolomeo=45,0480º=45º 2,8', con la diferencia de dos minutos ptolemaicos, que otorga validez al resultado.

Si aplicamos esta fórmula a Toledo, con una latitud real de 39,8670º  obtenemos:

Latitud Ptolomeo=40,7032º=40º  42,19', siendo Líbora con 40º 45' el único núcleo cuya latitud cuadraría en las tablas con este resultado, dentro del margen de los 5', coincidente con el obtenido en mi artículo http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=2961 , a partir de la latitud de Cauca y coincidente también con las coordenadas alternativas para Toletum, que daba J. Montero  en la página 334 de su tesis.

Como estas funciones producen un continuum de valores para Hispania (como dicen los matemáticos son continuas en el intervalo), ya no es necesario adaptar los valores a la tabla IV, sino que basta aplicar la fórmula para conseguirlo: así al contener la tabla, pero además trascenderla, podemos jubilar tranquilamente la tabla IV, después de rendir tan inestimables servicios.

La longitud

No existe un meridiano que coincida en la Geographia y en la realidad, tal y como ocurre con la latitud, que coinciden los paralelos 36º, sino que además las longitudes presentan variaciones importantes a medida que nos desplazamos de oeste a este, de modo que estamos ante un problema importante.

De todas formas Martínez Hombre obtuvo unos valores del grado de longitud en kilómetros, para cada latitud, que pueden verse en la tabla IV de la tesis de J. Montero.

Claudioptolomeo en su artículo de Celtiberia Una revisión de cálculos para las coordenadas de la Carpetania en la Geographia de Ptolomeo http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=3012 propone, para minimizar el problema de la longitud, usar el valor de grado de longitud (para cada paralelo) con respecto a un meridiano local (diferencia de longitudes), y aplicar esa diferencia sobre el meridiano real, teniendo en cuenta su variación de valor de grado de longitud real con respecto a la latitud real. 

Aquí se planteó un problema, pues al utilizarse para 39º 59' el mismo minuto de longitud real que para 35º, usando los valores puntuales de la tabla de A. Strahler, que da para 35º 91,290 km y para 40º  85,397 km, se genera un error de unos 20'.

Evidentemente el valor de grado de longitud no fluctúa a saltos, sino que es una función continua de la latitud, y para 39º 59' el valor ya es, prácticamente, el de 40º y no el de 35º.

Puede calcularse muy precisamente para la tierra por medio de la fórmula del elipsoide, forma real de nuestro planeta, obteniéndose los valores de la tabla de A. Strahler.

Como esta fórmula es algo engorrosa, casi siempre se utiliza la fórmula del coseno (que supone una tierra esférica) que genera valores cuyas discrepancias con las del elipsoide son irrelevantes para nuestra aplicación.

Esta es la fórmula del valor de grado la longitud real:

Valor de longitud 1º real = Cos(latitud real) * 111,325

Los 111,325 km son el valor del grado de latitud en el ecuador, que es más dilatado.

Estos son algunos de los valores que podemos obtener con dicha fórmula:

Latitud = 35,0 Kilómetros 1º Longitud = 91,192

Latitud = 36,0 Kilómetros 1º Longitud = 90,064

Latitud = 37,0 Kilómetros 1º Longitud = 88,908

Latitud = 38,0 Kilómetros 1º Longitud = 87,725

Latitud = 39,0 Kilómetros 1º Longitud = 86,516

Latitud = 39,9 Kilómetros 1º Longitud = 85,405

Latitud = 40,0 Kilómetros 1º Longitud = 85,280

Vemos que la discrepancia con el valor del elipsoide no tiene ninguna importancia para la mayoría de las aplicaciones, ni desde luego para la nuestra, como vemos para el valor de 40º de la tabla de  A. Strahler: 85,397-85,280 = 117 metros de diferencia, que nos ahorran la aplicación de una fórmula compleja o la consulta de las tablas, donde hemos visto que podemos cometer errores.

Bien, pero ¿y el grado de longitud de Ptolomeo?

Pues resulta que figura en la tabla IV y habíamos prometido jubilarla, así que vamos a ver si lo logramos:

Podríamos hacer una regresión sobre los valores de la tabla IV y obtener la recta que nos daría ya la función de longitud, este método es perfectamente válido y he comprobado que produce un excelente resultado, pero prefiero atacarlo de otra forma algo diferente, para que la fórmula obtenida no pierda información sobre el comportamiento trigonométrico de las longitudes, que puede sernos útil en el futuro:

El grado de longitud tiene que variar en función del coseno en la tierra de Posidonio aún mejor que en la tierra real, pues aquella es una esfera perfecta. Esto ha de considerarse como rigurosamente cierto, pues de otra manera no existiría base matemática alguna para la Geographia.

Podríamos hacer esta primera aproximación:

Valor de longitud 1º de Ptolomeo = Cos(latitud ptolomeo) x 92,406

siendo 92,406 el valor del grado de latitud.

Ahora bien, vemos que el valor de latitud no concuerda, analizando el primer valor de la tabla, que para 45º 40' son 61,616 km de longitud:

61,616=Cos(45,666) x Vgrado;  Vgrado=61,616/cos(45,666); Vgrado=88,17 <> 92,406

Repitiendo este proceso para unos cuantos valores espaciados:

45º 40'   61,616 88,17003303
44º 50'   62,39  87,97724131
43º 30'   63,498 87,53824582
42º  20'  64,459 87,19637731
41º 50'   64,879 87,07560883
40º  10'  66,279 86,73315831
39º  25'  66,909 86,60810927
38º  30'  67,679 86,47878176
37º  45'  68,309 86,3916792
36º  15'  69,559 86,25390961

Esto es una sorpresa, pues supone que se utilizó un valor de grado de latitud distinto en cada paralelo para calcular cada valor de longitud, cuando el valor de grado de latitud debiera de ser constante.

Martínez Hombre calculó sus valores sobre la península ibérica, sumando 0,0070 hasta los 42º 40' y llevando J. Montero estos valores hasta los 36º

La media de este valor de grado es de: 87,0423 con lo cual obtenemos nuestra segunda aproximación de longitud:

Valor de longitud 1º de Ptolomeo = Cos(latitud ptolomeo) x 87,0423

Esta es la fórmula que daba en los comentarios del artículo de Claudioptolomeo, pero podemos ir más allá y hacerla completamente exacta:

Si representamos los valores de latitud recalculados en función del coseno contra el grado de latitud ptolemaico en el diagrama de dispersión que se presenta, vemos que hay una relación lineal entre ambos, que responde a un coeficiente de Pearson de 0,9814127, que indica una correlación muy fuerte entre ambos conjuntos de datos.

Podemos, entonces, hacer una regresión lineal y sacar la recta que los relaciona, que es como sigue:

Vgrado' =0,2111702175614171 x Latitud + 78,3790669888567

Vemos algo muy interesante: la pendiente de la recta es 0,21117 y la pendiente es, como se sabe, la tangente del ángulo de la recta. Si ahora calculamos el arcotangente nos da un ángulo de 12º. Este ajuste del grado de latitud para la longitud es consecuencia de la proyección cónica Mercator.

Si ahora recalculamos los valores, vemos que las diferencias son insignificantes, luego ya tenemos como varía este grado de latitud en la tabla de longitudes de Martínez Hombre y J. Montero.

Latitud         Vgrado       Vgrado'         Diferencia     

45,66666667 88,17003303 88,02250692  0,147526111
44,83333333 87,97724131 87,84653174  0,130709567
43,5             87,53824582 87,56497145 -0,026725634
42,33333333 87,19637731 87,3186062  -0,12222889
41,83333333 87,07560883 87,21302109 -0,137412262
40,16666667 86,73315831 86,86107073 -0,127912421
39,41666667 86,60810927 86,70269306 -0,09458379
38,5             86,47878176 86,50912036 -0,030338605
37,75           86,3916792  86,3507427   0,040936496
36,25           86,25390961 86,03398738  0,219922232

Recalculando los valores de longitud de la tabla IV con Vgrado'

Km      Recálculo      Mts diferencia 

61,616 61,5129041     -0,103095899

62,39  62,29730592    -0,092694085

63,498 63,51738609     0,01938609

64,459 64,54935641     0,090356415

64,879 64,98138424     0,102384241

66,279 66,37674701     0,097747015

66,909 66,9820706       0,073070604

67,679 67,70274324     0,02374324

68,309 68,27663194    -0,032368061

69,559 69,3816449      -0,177355097

Vemos que las diferencias son inapreciables, y así hemos conseguido nuestro objetivo de cristalizar en una fórmula todos los valores de longitud de la tabla IV. Ahora vamos a intentar obtener con estos datos una transformación de la longitud:

De acuerdo a esta fórmula, la distancia entre dos núcleos de la Geographia de longitudes lgp1 y Lgp0 y latitud Ltp sería:

Distancia= (Lgp1-Lgp0) x Cos(Ltp1) x (0,2111702175614171 x Ltp1 + 78,3790669888567)

Si la divido por la distancia real, de los mismos puntos con latitudes Lt1 y Lt0, obtendré grados reales:

Gradosr= (Lgp1-Lgp0) x Cos(Ltp1) x (0,2111702175614171 x Ltp1 + 78,3790669888567)/ Cos(Latitudreal) x 111,325

calculando la diferencia con la longitud real de referencia obtendremos la longitud real y la última de nuestras transformaciones:

Longitud real = |((Lgp1-Lgp0) x Cos(Ltp) x (0,2111702175614171 x Ltp1 + 78,3790669888567)/ Cos(Latitudreal) x 111,325 ) - Longitud_real_referencia|

Fórmulas

Para probar la fórmula de la longitud, vamos a hacer la misma prueba que Martínez Hombre:

Calcularemos la distancia entre los cabos Higuer y Ortegal, que deberá corresponderse con la distancia entre el Trileucum y el Promontorio Oeasso:

1 Promontorio Trileucum (cabo Ortegal)

   Longitud 8º 15' = 8,25º pt

   Longitud 7,8767º r

2 Promontorio Oeasso (Higuer)

    Latitud    45º 50' = 45,8333º pt

    Longitud 15º 10' = 15,1666º  pt +1º (Existe un grado suprimido)

    Latitud    43,39208º  r

    Longitud 1,79214º r

Longitud real = |( (16,1667º - 8,2500º) x Cos(45,8333º) x (0,21117 x 45,8333º + 78,379) / (Cos(43,39208º  ) x 111,325) ) - 7,8670º| = 1,86284º = 1º 51,7º

1,86284º-1,79214º=0,0707º=4,242' unos 5,7 km, un resultado aceptable en el entorno de los 5' ptolemaicos.

Puede precisarse más el resultado si consideramos que el valor más alto de latitud en la tabla IV de Martínez Hombre y Montero Vítores  es de 45º 45'.

Por esta razón y como los valores de latitud del litoral cantábrico están fuertemente exagerados en la Geographia, podemos usar para estos promontorios ese valor máximo de latitud 45º 45' o 45,75º (2)

Longitud real = |( (16,1667º - 8,2500º) x Cos(45,75º) x (0,21117 x 45,75º + 78,379) / (Cos(43,39208º  ) x 111,325) ) - 7,8670º| = 1,8551º = 1º 51,3º

1,8551º-1,79214º=0,06296º=3,77' unos 5 km, dentro del rango de 5' Ptolemaicos, el resultado es bueno.

Ahora bien: es posible precisar aún más este resultado, hasta el punto de hacerlo completamente perfecto, si calculamos la latitud real y utilizamos el valor obtenido para alimentar la fórmula de la longitud:

Latitud real = 36º + (45,8333º - 36º) x 91,354 / 111,11 = 44,0849º = 44º 5,09'

Vemos que la latitud no coincide, por la exageración septentrional.  No nos importa, pues ahora estamos probando la fórmula de la longitud:

Longitud real = |( (16,1667º - 8,2500º) x Cos(45,8333º) x (0,21117 x 45,8333º + 78,379) / (Cos(44,0849º) x 111,325) ) - 7,8670º| = 1,7929º = 1º 47,57'

Vemos como el resultado es correcto, correspondiéndose con toda exactitud con la longitud del cabo Higuer.

El cálculo es, asimismo, adecuado para Lucus Asturum a mitad de camino:

45º 11º '  Coord. de: Lucus Asturum   (45,0000º , 11,0000º)

Latitud real = 36º + (45,0000º - 36º) x 91,354 / 111,11 = 43,3997º = 43º 23,98'

Longitud real = |( (11,0000º - 8,2500º) x Cos(45,0000º) x (0,21117 x 45,0000º + 78,379) / (Cos(43,3997º) x 111,325) ) - 7,8670º| = 5,7543º = 5º 45,26'

El dato real es (43º 26'  5º 49')r

Este será el proceder a partir de ahora: se calculará la latitud real con la primera transformación, y ese valor se usará para calcular la longitud con la segunda transformación.

(1)

http://www.ucm.es/eprints/2317/  pp 99-101

(2)

En realidad se puede "bajar" aún más la latitud, hasta los 45º 5' de Oeasso:

http://www.ucm.es/eprints/2317/  pag 116

 

Comprobación

Voy a hacer que la fórmula recalcule el valor del punto 8 de Claudioptolomeo Una revisión de cálculos para las coordenadas de la Carpetania en la Geographia de Ptolomeo http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=3012 para demostrar la absoluta identidad entre la fórmula y la tabla de longitudes.

Escojo este punto, porque el grado de longitud que utiliza aquí es bueno:

En el paralelo 41º 05´ N el grado de longitud real es de 85, 397 Kms ( 1´= 1.423 mts)

En realidad 41º 05' es la latitud ptolemaica, siendo la real 40º 11', que con la fórmula del coseno le corresponden: cos(40.18333º) x 111,325 = 85,050 km.

Vemos que a pesar de usar Claudioptolomeo la latitud de Ptolomeo en vez de la real para buscar en la tabla, no hay error -unos cientos de metros-, pues usó el valor de 40º de la tabla, pero es ilustrativo de los continuos problemas y el engorro que suponen el manejo repetitivo de tablas.

PUNTO 8.     41º 05', 10º 50'

1  Complutum (Cerro del Viso)

    - Latitud real     40º 27' = 40,45º

    - Longitud real   3º 22' = 3,366º (en realidad el Cerro del Viso está a 3º 24')

    - Latitud Ptolomeo 41º 20' = 41,3333º

    - Longitud Ptolomeo 10º 20' = 10,3333º

2 Punto 8

- Latitud real 40º 11' = 40,18333º

- Latitud Ptolemaica  41º 05' = 41,083333º

- Longitud Ptolemaica  10º 50' = 10,83333º

|(  (10,83333 - 10.33333) x Cos(41,083333) x (0,211170217561417 x 41,0833333 + 78,3790669888567) / (Cos(40,183333) x 111,325)  ) - 3,36666 |= 2,9809º = 2º 58,85'

Estos 2º 58,85' son el mismo resultado obtenido por Claudioptolomeo:

40º 11´ N , 2º 59 ´W = Leganiel /sur de Driebes.

Vemos como gracias a las barras de los valores absolutos nuestra fórmula es inteligente y sabe si tiene que restar o sumar el desplazamiento, entregando limpamente la coordenada de longitud.

Conclusiones

Hemos conseguido expresar tanto las transformaciones de latitud como de la longitud como funciones matemáticas. También hemos demostrado la operatividad de dichas funciones, llevando su precisión hasta el punto de operar con los valores de grado de longitud para cada latitud. Y ello tanto para la longitud real como la ptolemaica.

La regularidad subyacente a los valores de longitud de Martínez Hombre y J. Montero, la respuesta a los valores del coseno, ha sido un descubrimiento que me ha llenado de emoción y de confianza en una resolución final del problema de la longitud.

Podría haber utilizado un sistema más sencillo, como hacer una recta de regresión que me diese los valores de grado longitud en función de la latitud ptolemaica, de hecho lo intenté y obtuve excelentes resultados. Para quien le interese:

Grado Longitud Ptol= -0,81107906 x Latitud + 98,7322

Pero así nos iríamos a una fórmula plana y perderíamos la información que ha aportado el análisis: que la longitud de Ptolomeo varía, como corresponde a una verdadera geografía, según el coseno de la latitud, y que las correcciones introducidas por los autores de referencia implican un grado de latitud variable, asociado a una recta de 12º, consideraciones que requieren un análisis más profundo.

La expresión de estas fórmulas implica algo mucho más trascendente que la comodidad que puedan reportar a la hora de hacer cálculos con las coordenadas de la Geographia: podemos estudiar ahora el comportamiento de estas funciones y buscar regularidades que nos ayuden a perfeccionarlas más y más: la Geographia es ahora más vulnerable al arsenal matemático y más susceptible de análisis, como el informático, de manera que la resolución completa de sus problemas no está ya muy lejana.

Enlaces

Carpetanos y vettones en la Hispania de Ptolomeo: Ciudades y vías romanas de Carpetania y Vettonia de Jesús Montero Vitores (2000).

http://www.ucm.es/eprints/2317/

La ubicación de la Intercatia vaccea: propuesta de solución desde la geografía de Ptolomeo.

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=2905 

He utilizado esta página para obtener las coordenadas geográficas:

http://www.heavens-above.com/ 

También utilizé el Sigpac:

 http://sigpac.mapa.es/fega/visor/

Las tablas de Ptolomeo fueron consultadas en esta dirección:

http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Gazetteer/Periods/Roman/_Texts/Ptolemy/2/5*.html

Este artículo mio en Celtiberia prosigue con la identificación de núcleos vacceos, siguiendo el mismo procedimiento:

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=2916

En otro de mis artículos de Celtiberia se obtienen las fórmulas de declinación para el 2º cuadrante:

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=2918

Aquí situo algunos puntos de Asturias

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=2946

La Carpetania con respecto al paralelo ptolemaico de Cauca. El caso de Titulcia

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=2961

Revisión de la situación de Titulcia, de acuerdo al itinerario 24 de Antonino

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=3003

Claudioptolomeo Una revisión de cálculos para las coordenadas de la Carpetania en la Geographia de Ptolomeo

http://www.celtiberia.net/articulo.asp?id=3012

Conversor ON LINE de coordenadas ptolemaicas para Hispania

Aquí se puede enlazar un conversor automático de coordenadas:

Conversor de coordenadas

Para usarlo hay que meter la longitud real de un punto de referencia conocido para el territorio a analizar, por ejemplo Lugo: 7º 33'

Luego hay que meter la longitud de referencia que creemos se corresponde con ese lugar en Ptolomeo, por ejemplo los 6º 25' de Iria Flavia (las coordenadas y el nombre no tienen porque coincidir en las listas de Ptolomeo, debido a las alteraciones medievales y renacentistas)

Y ya sólo queda meter las coordenadas de Ptolomeo para saber por donde caen. Por ejemplo probad con los 45º 5º 20' de Portus Artabri

Nos dará las coordenadas reales en formato decimal Y UN ENLACE PARA VOLAR DIRECTAMENTE AL LUGAR CON GOOGLE EARTH


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